Учебник Исследования Операций В Экономике
2 УДК 330.115(075.8) ББК22.1я73 А94 Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: А94 Учеб. — М.: ИНФРА-М,2003.
Описание: В учебнике «Исследование операций» основное внимание уделено вопросам математического моделирования экономических процессов средствами исследования операций. К этим методам в первую очередь относятся те, которые используют аппарат математического программирования, теории расписаний, теории управления запасами, теории игр, теории массового обслуживания и др. Последнее обстоятельство послужило поводом для широкого использования при анализе финансового и банковского секторов экономики инструментария исследования операций. Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную книгу: Исследование операций в экономике, Кремер.
— (Серия «Высшее образование»). ISBN 5-16-001580-9 Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта и содержит учебные материалы и методику решения широкого спектра экономических задач. В методике реализован новый подход к проведению практических занятий с использованием компьютерных технологий обучения в сочетании с программными средствами решения задач. Для студентов экономических вузов и преподавателей. ББК 22.1я73 ISBN5-16-001580-9 ©М.Ю. Афанасьев, Б.П.
Суворов, 2003 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. Оптимизация плана производства. Оптимальное смешение. Оптимальный раскрой. Планирование финансов. Транспортная задача.
Задача о назначениях. Сетевой анализ проектов. Метод СРМ. Сетевой анализ проектов. Метод PERT. Анализ затрат на реализацию проекта. 105 Глава 10.
Стратегические игры. 132 Глава 11. Нелинейное программирование. 147 Глава 12.
Модели управления запасами. 166 Глава 13. Модели систем массового обслуживания. 180 Глава 14. Имитационное моделирование. 202 Глава 15.
Целочисленные задачи линейного программирования. 226 Глава 16. Основы теории принятия решений. 239 Список основной литературы. 254 Список дополнительной литературы. 255 Предисловие Студент экономического вуза, прослушавший курс «Исследование операций», должен знать основные экономические проблемы, при решении которых возникает необходимость в математическом инструментарии.
Он должен ориентироваться в экономической постановке задачи и определять по ней, в каком разделе исследования операций следует искать средства ее решения; должен уметь формализовать экономическую задачу, т.е. Описать ее с помощью известной математической модели, провести расчеты и получить количественные результаты. Однако самое главное — студент должен уметь анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные поставленной экономической задаче.
В каждой главе материал изложен в такой последовательности: цели, модели, примеры, вопросы, задачи, ситуации. Устанавливаются цели изучения темы. Перечисляются основные понятия, которые должны быть изучены, и навыки, которые должны быть приобретены после изучения материала, предлагаемого в рамках данной темы. Приводится описание экономико-математическихмоделей, необходимых для выполнения заданий по данной теме. Формулируются условия для применения этих моделей. Материал этого раздела можно рассматривать как краткий конспект лекции по теме. Демонстрируется, как описанные модели могут использоваться для решения экономических задач.
При этом приводятся формулировка задачи, описание модели, необходимой для решения задачи, результаты расчетов по модели и анализ этих результатов. Наиболее простая форма контроля знаний. Предлагается набор из нескольких вопросов и варианты ответов, один из которых верен. Основная форма контроля результатов обучения по программе подготовки бакалавров. Предлагается набор задач для самостоятельного решения. Решение любой задачи предполагает построение соответствующей модели, проведение необходимых расчетов и получение ответов на поставленные в задаче вопросы.
Важняк игра на вылет торрент. Основная форма контроля результатов обучения по программе подготовки магистров. Приводится описание конкретных экономических ситуаций, которые необходимо проанализировать. Цель такого анализа — научить использовать для исследования сложных экономических проблем полученные навыки решения задач. Нет и не может быть однозначных ответов на все вопросы, содержащиеся в заданиях к изложенным ситуациям.
В этом принципиальное отличие ситуации от обычной задачи. Как правило, описание конкретной ситуации не содержит всей необходимой информации. Читателю приходится делать предположения и вносить необходимые добавления. Поэтому, анализируя одну и ту же ситуацию, два студента могут получить разные результаты.
И оба результата будут верны. Цель анализа ситуации не сводится к получению ответа. Важен не результат, а процесс анализа. Некоторые задачи и ситуации заимствованы из других источников и представлены в переработанном виде. В конце каждой главы приведены ответы на вопросы и решения задач. Данное учебное пособие можно использовать при традиционной форме проведения практических занятий, когда студенты все вместе решают задачу, предложенную преподавателем. Более современным представляется подход, основанный на использовании компьютерной технологии обучения в сочетании с программными средствами решения задач.
Именно такую технологию проведения практических занятий уже более 15 лет используют авторы. В ее основе — компьютерный учебник «Исследование операций в экономике». Он содержит теоретический материал, многие из приведенных в данном учебном пособии задач, а также средства контроля правильности их решения с выборочной диагностикой ошибок. Некоторые разделы исследования операций, например динамическое программирование, не представлены в этой книге, потому что авторы не могут предложить читателю удобное программное обеспечение для получения количественных оценок по соответствующим моделям. Авторы благодарят А. Ароновича за сотрудничество при подготовке глав 10 и 11, а также Н.В. Васильеву, чей опыт практических занятий по курсу «Исследование операций» позволил внести полезные коррективы в материал учебного пособия.
Оптимизация плана производства Цели В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей.
Пополнить счет билайн с карты. Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:. целевую функцию;.
ограничения;. допустимый план;. множество допустимых планов;. модель линейного программирования;. оптимальный план;.
двойственные оценки;. границы устойчивости. Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов.
Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д. 4 Модели Введем обозначения: п — количество выпускаемых продуктов; т — количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила); а ij — объем затрат i-горесурса на выпуск единицы j-йпродукции; с j — прибыль от выпуска и реализации единицы j-гопродукта; b i — количество имеющегося i-горесурса; х j — объем выпуска j-гопродукта. Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования: (1) (2) (3) Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли); (2) — система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов; (3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных); х j — переменная (variable).
Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум. Задача линейного программирования в стандартной форме на минимум имеет вид (4) (5) (6) Вектор х = ( x 1, x 2., x n), компоненты х j которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи ЛП.
Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов. Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.
С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной задачей ЛП. Двойственной к задаче ЛП (1)—(3)является задача Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9)является задача (1)—(3).Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи.
Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны. Компонента y i.
оптимального решения двойственной задачи (7)—(9)называется двойственной оценкой å n aij x j ≤ b i (Dual Value) ограничения j = 1 исходной задачи ЛП. Å n c j x j Пусть ϕ = max ( j = 1 ), где х j — компонента допустимого решения задачи (1)—(3). Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие соотношения. 5 Изменим значение правой части b i одного основного ограничения (RHS) исходной задачи ЛП. Пусть b i ′ — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у.
двойственной задачи не изменится. Тогда величину b i ′ называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения. Пусть b i ′′ — максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y. двойственной задачи не изменится. Тогда величину b i ′′ называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения. Изменим значение одного коэффициента с j целевой функции исходной задачи ЛП. Пусть c ′ j — минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение x.
исходной задачи не изменится. Тогда величину c ′ j называют нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции. Пусть c ′ j ′ — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х. исходной задачи не изменится. Тогда величину c ′ j ′ называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции. Примеры Пример 1.
Сколько производить? Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице: Вопросы: 1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль? Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль? Какова максимальная прибыль?
На сколько возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья увеличатся на 1 т? На сколько возрастет максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч? Пусть х 1 — объем выпуска продукта 1 в тоннах, х 2 — объем выпуска продукта 2 в тоннах. Тогда задача может быть описана в виде следующей модели линейного программирования: Используя пакет РОМ for WINDOWS (далее - POMWIN), исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы. 6 В нижней строке указан объем выпуска каждого продукта, удовлетворяющий ограничениям на ресурсы и обеспечивающий максимальную прибыль.
Величина 988,24 — максимальное значение целевой функции. Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 16,47 т продукта 1 и 14,12 т продукта 2.
Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки для каждого ограничения.
Так, величина 3,82 показывает, что при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное значение целевой функции для нового оптимального плана увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. Аналогично можно интерпретировать значение двойственной оценки 1,32 для второго ресурса. Следующая таблица содержит дополнительную информацию, предоставляемую пакетом POMWIN: Два правых столбца таблицы — границы устойчивости по значениям коэффициентов целевой функции (верхняя часть таблицы) и правых частей ограничений (нижняя часть). Так, в случае если прибыль, получаемая от реализации 1 т продукта 1, изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83, количество продукта 1 в оптимальном плане не изменится. В случае если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71 до 166,66, двойственная оценка этого ресурса не изменится.
Соответственно, если допустимый объем трудозатрат изменится в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ресурса не изменится. Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. Производить или покупать? Фирма производит два типа химикатов.
На предстоящий месяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов: Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2.
Ниже в таблице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе. 7 Из-заограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту.
Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-токоличество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны: Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками. Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?
Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме? Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны? Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны? Каковы минимальные издержки на выполнение контракта? Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 со стороны, если их цена возрастет до 75 тыс. На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч? Введем обозначения: x 1 — количество продукта 1, производимого компанией; z 1 — количество продукта 1, закупаемого компанией; x 2 — количество продукта 2, производимого компанией; z 2 — количество продукта 2, закупаемого компанией.
Модель линейного программирования приведена в следующей таблице. 8 Результаты расчетов: Таблица двойственных оценок и границ устойчивости: Из таблицы двойственных оценок и границ устойчивости видно, что в пределах изменения закупочной цены на химикат типа 2 от 61 до 76 (ее фактическое значение 66) оптимальный план не изменится. Из таблицы также видно, что изменение ресурса времени работы реактора 2 в пределах от 225 до 765 не приведет к изменению двойственной оценки соответствующего ограничения. Программа кружка дизайн одежды. 11 475,56 тыс.
Исследование Операций В Экономике Учебник
Нет, не следует. Вопросы Вопрос 1. Дана задача линейного программирования Если эта задача имеет решение, то какие знаки имеют переменные y 1 и y 2 двойственной задачи? Варианты ответов: Вопрос 2. На предприятии — два цеха. Проведены оптимизационные расчеты по определению программы развития предприятия с минимальными затратами.
Получены оптимальный план и двойственные оценки ограничений по загрузке мощностей двух цехов. Оказалось, что двойственная оценка ограничений на производственные мощности первого цеха равна нулю, а второго — строго положительна.
Это означает, что: 1) информации для ответа недостаточно; 2) мощности обоих цехов недогружены; 3) мощности обоих цехов использованы полностью; 4) мощности цеха 1 использованы полностью, а цеха 2 недогружены; 5) мощности цеха 1 недогружены, а цеха 1 использованы полностью. Рассматривается задача планирования нефтеперерабатывающего производства, описанная в виде модели линейного программирования. Критерий — минимум издержек. В результате решения лимитирующим фактором оказалась мощность Оборудования, измеряемая в тоннах перерабатываемой нефти. В каких единицах измеряется двойственная оценка соответствующего ограничения? Варианты ответов: 1) т/руб.; 2) руб./ч; 3) ч/руб.; 4) руб./т; 5) т.
Рассматривается задача оптимизации плана производства нефтепродуктов. Объем производства измеряется в тоннах. Задача решается на минимум издержек. Учитывается ограничение на время использования оборудования.
В каких единицах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого ограничения? Варианты ответов: Вопрос 5. Рассматривается задача оптимизации производственной программы.
Критерий — максимум прибыли. Оптимальное значение критерия — 100. Двойственная оценка ограничения по трудозатратам равна 0,5, по объему производства — 1,5. Чему будет равна максимальная прибыль, если общий объем трудозатрат сократится на 10 единиц? Варианты ответов: 1) 85; 2) 90; 3) 95; 4) 100; 5) 110.
Для всякого ли многогранника существует задача линейного программирования, допустимым множеством которой он является? Варианты ответов: 1) да, для всякого; 2) нет, только для многогранника, имеющего более трех вершин; 3) нет, только для многогранника с положительными координатами вершин; 4) нет, только для выпуклого многогранника с неотрицательными координатами вершин; 5) нет, только для выпуклого многогранника. Допустимое решение задачи линейного программирования: 1) должно одновременно удовлетворять всем ограничениям задачи; 2) должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем, ограничениям задачи; 3) должно быть вершиной множества допустимых решений; 4) должно обеспечивать наилучшее значение целевой функции; 5) не удовлетворяет указанным выше условиям. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: при условиях Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно: 1) 1600; 2) 1520; 3) 1800; 4) 1440; 5) не равно ни одному из указанных значений. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: пои условиях Какая из следующих точек с координатами (X, Y) не является допустимой?
Варианты ответов: 5) ни одна из указанных. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования.
10 при условиях Множество допустимых планов имеет следующие четыре вершины: (48, 84), (0, 120), (0, 0), (90, 0). Чему равно оптимальное значение целевой функции? Варианты ответов: 1) 1032; 2) 1200; 3) 360; 4) 1600; 5) ни одному из указанных значений. Задачи Задача 1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме — 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов.
Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме? Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме? Каков минимальный ежедневный расход нефти?
На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный расход нефти, если потребуется производить в день 80 т светлых нефтепродуктов? Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».
Учебник Кремер Исследование Операций В Экономике
В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человекочаса, а на производство трубки к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 120 человекочасов в день. В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человекочас. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часовв день.
Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» — 2000 руб. Фирма заинтересована в максимизации прибыли. Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно? Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании? На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человекочасов?
Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Космо» увеличится до 2200 руб.? Чулочно-носочнаяфирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб.
От производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. От производства и продажи одной пары носков. Производство каждого изделия осуществляется на трех участках.
Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка: Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3. Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?